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卷积运算法则_卷积运算的例题及答案_卷积神经网络反向传播算法           ★★★
卷积运算法则_卷积运算的例题及答案_卷积神经网络反向传播算法
作者:网络整理 点击数:163 更新时间:2019-09-29 03:50:27

卷积运算的例题及答案_卷积神经网络反向传播算法_卷积运算法则

卷积定理指出,函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶变换的乘积。即一个域中的卷积对应于另一个域中的乘积,例如时域中的卷积对应于频域中的乘积。

F{f∗g}=F{f}⋅F{g} {\displaystyle {\mathcal {F}}\{f*g\}={\mathcal {F}}\{f\}\cdot {\mathcal {F}}\{g\}}

其中 F(f) {\displaystyle {\mathcal {F}}(f)} 表示f 的傅里叶变换。下面这种形式也成立:

F{f⋅g}=F{f}∗F{g} {\displaystyle {\mathcal {F}}\{f\cdot g\}={\mathcal {F}}\{f\}*{\mathcal {F}}\{g\}}

借由傅里叶逆变换 F−1 {\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}} ,也可以写成

卷积运算的例题及答案_卷积神经网络反向传播算法_卷积运算法则

f∗g=F−1{F{f}⋅F{g}} {\displaystyle f*g={\mathcal {F}}^{-1}{\big \{}{\mathcal {F}}\{f\}\cdot {\mathcal {F}}\{g\}{\big \}}}

注意以上的写法只对特定形式定义的变换正确,变换可能由其它方式正规化,使得上面的关系式中出现其它的常数因子。

这一定理对拉普拉斯变换、双边拉普拉斯变换、Z变换、梅林变换和Hartley变换(参见Mellin inversion theorem)等各种傅里叶变换的变体同样成立。在调和分析中还可以推广到在局部紧致的阿贝尔群上定义的傅里叶变换。

利用卷积定理可以简化卷积的运算量。对于长度为 n {\displaystyle n} 序列,按照卷积的定义进行计算,需要做 2n−1 {\displaystyle 2n-1} 组对位乘法,其计算复杂度为 O(n2) {\displaystyle {\mathcal {O}}(n^{2})} ;而利用傅里叶变换将序列变换到频域上后,只需要一组对位乘法,利用傅里叶变换的快速算法之后卷积运算法则,总的计算复杂度为 O(nlog⁡n) {\displaystyle {\mathcal {O}}(n\log n)} 。这一结果可以在快速乘法计算中得到应用。

这里展示的证明是基于傅立叶变换的特定形式。如果傅里叶变换的形式不同,则推导中将会增加一些常数因子。

卷积运算的例题及答案_卷积运算法则_卷积神经网络反向传播算法

令f、g属于L(Rn)。 F {\displaystyle F} 为 f {\displaystyle f} 的傅里叶变换,G {\displaystyle G} 为 g {\displaystyle g} 的傅里叶变换:

F(ν)=F{f}=∫Rnf(x)e−2πix⋅νdx {\displaystyle F(\nu )={\mathcal {F}}\{f\}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot \nu }\,\mathrm {d} x}

G(ν)=F{g}=∫Rng(x)e−2πix⋅νdx, {\displaystyle G(\nu )={\mathcal {F}}\{g\}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(x)e^{-2\pi ix\cdot \nu }\,\mathrm {d} x,}

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